# Ch2 知识表达与推理

# 命题逻辑

真值表：

“条件” 命题联结词中前提为假时命题结论永远为真，bi-conditional 只有两个都是 true 或者都是 false 才是 true
逻辑等价：给定命题 p 和命题 q，如果 p 和 q 在所有情况下都具有同样真假结果，那么 p 和 q 在逻辑上等价，一般用 $\equiv$ 来表示，即 p $\equiv$ q。
判断逻辑等价：画真值表
逻辑等价式：

• normal form
  • 有限个简单合取式构成的析取式称为析取 (or) 范式
  • 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取 (and) 范式

# 谓词逻辑

• 全称量词与存在量词
• 约束变元、自由变元

$$\begin{aligned} (\forall x)(A(x) \lor B(x)) \equiv (\forall x)A(x) \lor (\forall x)B(x) 不成立 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall x)(A(x) \land B(x)) \equiv (\forall x)A(x) \land (\forall x)B(x) 成立 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\exists x)(A(x) \lor B(x)) \equiv (\exists x)A(x) \lor (\exists x)B(x) 成立 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\exists x)(A(x) \land B(x)) \equiv (\exists x)A(x) \land (\exists x)B(x) 不成立 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall x)(\forall y)A(x, y) \equiv (\forall y)(\forall x)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\exists x)(\exists y)A(x, y) \equiv (\exists y)(\exists x)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall x)(\forall y)A(x, y) \equiv (\exists y)(\forall x)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall x)(\forall y)A(x, y) \equiv (\exists x)(\forall y)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\exists y)(\forall x)A(x, y) \equiv (\forall x)(\exists y)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\exists x)(\forall y)A(x, y) \equiv (\forall y)(\exists x)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall x)(\exists y)A(x, y) \equiv (\exists y)(\exists x)A(x, y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\forall y)(\exists x)A(x, y) \equiv (\exists x)(\exists y)A(x, y) \end{aligned}$$

• 利用谓词逻辑进行推理
  • 全称量词消去： $(\forall x) A(x) \equiv A(y)$
  • 全称量词引入： $A(y) \equiv (\forall x) A(x)$
  • 存在量词消去： $(\exists x) A(x) \equiv A(c)$
  • 存在量词引入： $A(c) \equiv (\exists x) A(x)$

# 知识图谱推理

• 知识图谱可视为包含多种关系的图。在图中，每个节点是一个实体（如人名、地名、事件和活动等），任意两个节点之间的边表示这两个节点之间存在的关系。
• 可将知识图谱中任意两个相连节点及其连接边表示成一个三元组（triplet）, 即 (left_node, relation, right_node)
  两类代表性方法：
• 归纳逻辑程序设计 (inductive logic programming，ILP) 算法
• 路径排序算法（path ranking algorithm, PRA）

ILP: 一阶归纳学习 FOIL（First Order Inductive Learner）
推理手段：正例集合 + 反例集合 + 背景知识样例 ⟹ 目标谓词作为结论的推理规则

懒得写了，看 ppt 吧

推理规则覆盖所有正例且不覆盖任何反例的时候算法结束

PRA: 路径排序算法

(4) 的意思是看两个实体能不能通过 (3) 的关系从第一个走到第二个。
后面的 1 表示正例，-1 表示负例。

# 概率图推理

贝叶斯网络

要会算

马尔科夫逻辑网络

# 因果推理

因果定义：变量 X 是变量 Y 的原因，当且仅当保持其它所有变量不变的情况下，改变 X 的值能导致 Y 的值发生变化。
因果效应：因变量 X 改变一个单位时，果变量 Y 的变化程度

因果图是有向无环图

结构因果模型：结构因果模型由两组变量集合 U 和 V 以及一组函数 f 组成。其中，f 是根据模型中其他变量取值而给 V 中每一个变量赋值的函数
结构因果模型中的原因：如果变量 X 出现在给变量 X 赋值的函数中，如$Y = f(X) + \epsilon$，则 X 是 Y 的直接原因
因果图中的联合概率分布：直接看图

因果图的基本结构：

• 链结构
  -
  - 对于变量 X 和 Y，若 X 和 Y 之间只有一条单向的路径，变量 Z 是截断 (intercept) 该路径的集合中的任一变量，则在给定 Z 时，X 和 Y 条件独立。

$$P(X, Y | Z) = P(X | Z)P(Y | Z)$$

• 分连结构
  -

$$P(X, Y | Z) = \frac {P(X, Y, Z)}{P(Z)} = \frac {P(X | Z)P(Y | Z)P(Z)}{P(Z)} = P(X | Z)P(Y | Z)$$

• 汇联结构
  -

$$P(X, Y | Z) = \frac{P(X, Y, Z)} {P(Z)} = \frac {P(X, Y, Z)}{P(Z)} = \frac {P(X)P(Y)P(Z/X, Y)}{P(Z)} \neq P(X | Z)P(Y | Z)$$

# D - 分离 (directional separation, d-separation)，可用于判断任意两个节点的相关性和独立性

• 限定集：已知或观察到的变量集合（给定的变量集合）
• 路径 p 被限定集 Z 阻塞 (block) 当且仅当：
  • (1) 路径 p 含有链结构 A → B → C 或分连结构 A ← B → C 且中间节点 B 在 Z 中，或
  • (2) 路径 p 含有汇连结构 A → B ← C 且汇连节点 B 及其后代都不在 Z 中。
  • 若 Z 阻塞了节点 X 和节点 Y 之间的每一条路径，则称给定 Z 时，X 和 Y 是 D - 分离，即给定 Z 时，X 和 Y 条件独立
  • 链式、分连中间节点在，汇联中间节点和后代不在则 D - 分离

因果定义：变量 X 是变量 Y 的原因，当且仅当保持其它所有变量不变的情况下，改变 X 的值能导致 Y 的值发生变化。
因果效应：因变量 X 改变一个单位时，果变量 Y 的变化程度因果推理的两个关键因素：

• 改变因变量 T
• 保证其它变量不变
  干预：干预 (intervention) 指的是固定 (fix) 系统中的变量，然后改变系统，观察其他变量的变化。
  为了与 X 自然取值 x 时进行区分，在对 X 进行干预时，引入 “do 算子”(do-calculus)，记作 do (X = x)。
  因此，P (Y = y|X = x) 表示的是当发现 X = x 时，Y= y 的概率；而 P (Y = y|do (X =x)) 表示的是对 X 进行干预，固定其值为 x 时，Y = y 的概率。
  用统计学的术语来说，P (Y = y|X = x) 反映的是在取值为 x 的个体 X 上，Y 的总体分布；而 P (Y = y|do (X =x)) 反映的是如果将每一个 X 取值都固定为 x 时，Y 的总体分布。

因果效应差 / 平均因果效应 (ACE) 懒得写了看图吧


计算因果效应的关键在于计算操纵概率 (manipulatedprobability) $P_m$
调整公式：

$$P(Y = y \mid do(X = x)) = \sum_z P(Y = y \mid X = x, Z = z) \cdot P(Z = z)$$

对于 Z 的每一个取值 z，计算 X 和 Y 的条件概率并取均值

example

假设我们研究以下变量：

• X：是否服药
  • $X = 1$：服药
  • $X = 0$：不服药
• Y：是否康复
  • $Y = 1$：康复
  • $Y = 0$：未康复
• Z：性别
  • $Z = 0$：男
  • $Z = 1$：女
    我们知道性别会影响：
• 是否选择服药（比如男性更倾向于尝试新药）
• 康复率（比如女性可能有更强的免疫力）
  因此，性别 Z 是一个混杂变量，需要在分析中进行控制。
  已知：

Z（性别）	P(Z)	P(Y=1 | X=1, Z)	P(Y=1 | X=0, Z)
男（0）	0.6	0.7	0.4
女（1）	0.4	0.5	0.3

我们想知道：
如果强制所有人都服药（即 $do(X=1)$），整体康复率是多少？
也就是要计算：

$$P(Y=1 \mid do(X=1))$$

根据调整公式：

$$P(Y=1 \mid do(X=1)) = \sum_z P(Y=1 \mid X=1, Z=z) \cdot P(Z=z)$$

代入数据计算

$$P(Y=1 \mid do(X=1)) = P(Y=1 \mid X=1, Z=0) \cdot P(Z=0) + P(Y=1 \mid X=1, Z=1) \cdot P(Z=1)$$

$$= 0.7 \times 0.6 + 0.5 \times 0.4 = 0.42 + 0.2 = 0.62$$

(因果效应) 给定因果图 G，PA 表示 X 的父节点集合，则 X 对 Y 的因果效应为

$$P(Y=y \mid do(X=x)) = \sum_z P(Y=y \mid X=x, PA=z) \cdot P(PA=z)$$

后门调整：
不写了