Home 计算机科学 计算机组成

# Ch2 数据的表示和运算

# 2.1 进位计数制及其相互转换

# 2.1.1

  • 十进制二进制八进制十六进制转换
    • 略

# 2.1.2 定点数的编码表示

  • 定点数一般表示定点小数和定点整数，小数是符号位.xxx，整数是符号位 xxxx.0

  • 感觉不是什么重要的东西，浮点数表示比较重要

  • 原码，反码，补码
    • 正数的原码反码补码相同
    • 原码表示的范围为 −2n+1 2n−1-2^n+1 ~ 2^n-1
    • 补码表示的范围为 −2n 2n−1-2^n ~ 2^n-1
    • 负数的原码是 1 + 绝对值，反码是 1 + 绝对值取反，补码是反码 + 1
  • 移码：用来表示浮点数的阶码，只能表示整数
    • 一般用移码表示浮点数的阶码，用补码表示定点整数

[x]移=2n+x[x]_移 = 2^n + x

移码就是在真值 x 前面加一个 offset，比如取 offset 为 2^7，就在补码的第 8 位加上 1

  • 比如正数 10101，移码是 10010101，负数 - 10101 的补码是 11101011，所以移码是 01101011
  • 移码的作用是保持数据原有的大小顺序，移码大真值大，移码小真值小，所以可以直观地进行比较

相同位数的补码和移码表示具有相同的数据表示范围，区别只是表示方法不同
补码与移码只差一个符号位。同一个数的补码和移码表示，其数值部分相同，而符号位相反。

# 2.1.3 整数表示

略

# 2.1.4

c 中的强制转换
short 转成 unsigned short 直接把二进制看成 unsigned short，比如 - 1 变成 65535
int 变成 short 直接截断
小字长转大字长不会改变值，如果是 unsigned 就会在前面补 0，如果是有符号数就在前面补符号位
short 转 unsigned int，先对 short 进行符号扩展到 int，再把它当做 unsigned int，如果是 unsigned short 转 int，就进行零扩展再看成 int……

一些题目

example

若[x]补=1,x1x2x3x4x5x6[x]_补 = 1,x_1x_2x_3x_4x_5x_6, 其中xix_i 取 0 或 1，若要 x>-32，应当满足：
C. x1x_1 为 1，x2...x6x_2...x_6 中至少有一位为 1
1100000 是 - 32，要比 - 32 大所以绝对值要小，所以数值部分要大，所以x1x_1 必须是 1, 后面随便有个 1 就行

设 x 为正数，[x]补=1,x1x2x3x4x5[x]_补 = 1,x_1x_2x_3x_4x_5, 若要 x<-16，应当满足：
C. x1x_1 必须为 0，其它任意
110000 是 - 16，要小于 - 16 所以数值部分绝对值要小，所以只要x1x_1 为 0 就比 - 16 小

一个 8 位的二进制整数由 2 个 “0” 和 6 个 “1” 组成，采用补码或者移码表示，则
若采用移码表示，偏置值为 127，则此整数最小为 - 64（偏置为 127 需要在补码加上 1111111，要让数值最小，应该把 1 放低位，所以移码是 00111111，补码是 10111111 是 - 64）

：前面说过，移码大真值大，移码小真值小，所以要让数值最小把 1 放低位就行了

若采用补码表示，则此整数最小为 - 97（10011111=-97）

对于无符号数，数值大的数就大
对于有符号数的原码和反码比较大小：先看正负然后看数值，反码数值转成原码再比
对于补码比较大小，正数正常比较，负数数值部分越小，绝对值越大（前面 1 更多的数的绝对值越小，所以 11111111 是 - 1）

# 2.2 运算方法和运算电路

# 2.2.1 基本运算部件

# 一位全加器

  • 用真值表实现的：进位 C，和 S
A B Cin Cout S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
  • 可以用卡诺图或者直接理解

S=A‾ B‾ Ci+A‾ B Ci‾+A B‾ Ci‾+A B Ci=A⊕B⊕Ci\begin{aligned} S &= \overline{A} \, \overline{B} \, C_i + \overline{A} \, B \, \overline{C_i} + A \, \overline{B} \, \overline{C_i} + A \, B \, C_i \\ &= A \oplus B \oplus C_i \end{aligned}

Co=AB+AB‾Ci+A‾BCi=AB+(A⊕B)⋅Ci\begin{aligned} Co &= AB + A \overline{B} C_i + \overline{A} B C_i \\ &= AB + (A \oplus B) \cdot C_i \end{aligned}

# 串行进位加法器

  • 把 n 个一位全加器连起来

    Carry Propagation & Delay

# 并行进位加法器

对 Cin 进行 look ahead

前面提到：

Co=AB+AB‾Ci+A‾BCi=AB+(A⊕B)⋅Ci\begin{aligned} Co &= AB + A \overline{B} C_i + \overline{A} B C_i \\ &= AB + (A \oplus B) \cdot C_i \end{aligned}

下一位的 Cin 等于上一位的 Cout，所以可以进行 look ahead，这里让

Gi=AiBi\begin{aligned} G_i &= A_iB_i \end{aligned}

Pi=Ai⊕Bi\begin{aligned} P_i &= A_i \oplus B_i \end{aligned}

所以

Ci+1=Gi+PiCi\begin{aligned} C_{i+1} &= G_i + P_iC_i \end{aligned}

Si=Pi⊕Ci\begin{aligned} S_i &= P_i \oplus C_i \end{aligned}

就能得到超前进位的效果

# 带标志加法器

  • 溢出标志 OF=Cn⊕Cn−1OF = C_n \oplus C_{n-1}，只能判断有符号数是否溢出
    - 两个正数加起来变成负数或者两个负数加起来变成正数，就会溢出
A B C_ F CnC_n OF
0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0

第二行 A=0, B=0, F=1，正 + 正 = 负
第七行 A=0, B=1, F=0，负 + 负 = 正
所以 OF=1，表示有溢出
观察发现OF=Cn−1⊕CnOF = C_{n-1} \oplus C_n

  • 符号标志 SF=Fn−1SF = F_{n-1}，输出的最高位决定有符号数的正负
  • CF 进位 / 借位标志：用于判断无符号数的加减运算是否溢出
    • CF=Cin⊕CoutCF = Cin \oplus Cout
    • 此处的 Cin 和 Cout 表示最开始的输入和最后的输出，还没理解
  • ZF 零标志 当且仅当所有 F=0 时为 1，否则为 0（把所有 F 作或非）
  • SF 符号标志位，结果为负，即符号位为 1 时 SF=1，否则为 0
    具体可以看这篇：https://blog.csdn.net/gabby____/article/details/80825549

# ALU

略

# 2.2.2 定点数的移位运算

  • 左移一位 * 2，右移一位 / 2
  • 逻辑移位：移完直接补 0
    • 无符号数若高位的 1 移出，则发生溢出
  • 算数移位：有符号数右移时，补符号位，左移直接移，如果高位和符号位不同，则发生溢出

# 定点数的加减运算

补码相加减，略
主要是溢出判断：符号相同的数相加或者符号相异的数相减会发生溢出

  • 一位符号位（参考前面 OF）
  • 双符号位（模 4 补码）
    • 符号位左边那一位表示正确的符号，0 为正，1 为负；右边那一位如果和左边的相同，如 "00” 表示正且无溢出，"11" 表示负且无溢出。如果右边那一位与左边那一位不一样，则表示有溢出
    • 溢出逻辑判断：若 V 为 0 则无溢出，V 为 1 则溢出
    • 存储的时候，模 4 补码只需要一位符号位，因为任何一个正确的数值它的两个符号位是相同的。它只是把两个模 4 补码的数送往 ALU 进行运算的时候，把符号位同时送入 ALU 的双符号位中，即只在 ALU 中采用双符号位

V=Ss1⊕Ss2V = S_{s1} \oplus S_{s2}

例子看这篇写的挺清楚：https://blog.csdn.net/sun_boy_boy_sun/article/details/87917020
总之两位不同则有溢出

# 定点数的乘除运算

略，列竖式即可

# 浮点数的表示与运算

  1. 浮点数的表示格式

N=(−1)s⋅M⋅REN = (-1)^s \cdot M \cdot R^E

s 符号，M 尾数，E 阶码，R 基数
2. 浮点数的表示范围
范围关于原点对称，运算结果大于最大正数时成为正上溢，小遇绝对值最大负数是成为负上溢，统称上溢。运算结果在 0 - 最小整数之间成为正下溢，负数同理，统称下溢（原因是精度不够）
3. 浮点数的规格化
化成1.xxxxx...⋅2n1.xxxxx... \cdot 2^n 的形式
4. IEEE754
符号，阶码，尾数
32 位单精度：1 8 23，偏置为27−1=1272^7-1=127，真值为(−1)s⋅2e−127⋅(1.M)(-1)^s \cdot 2^{e-127} \cdot (1.M)
单精度表示的最小值为1⋅21−127⋅(1.000...)=2−1261 \cdot 2^{1-127} \cdot (1.000...) = 2^{-126}，最大值为1⋅2254−127⋅(1.111...)=(2−2−23)⋅21271 \cdot 2^{254-127} \cdot (1.111...) = (2 - 2^{-23}) \cdot 2^{127}}
64 位双精度：1 11 52，偏置为210−1=10232^{10}-1=1023，真值为(−1)s⋅2e−1023⋅(1.M)(-1)^s \cdot 2^{e-1023} \cdot (1.M)，最大值为1⋅22046−1023⋅(1.111...)=(2−2−52)⋅210231 \cdot 2^{2046-1023} \cdot (1.111...) = (2 - 2^{-52}) \cdot 2^{1023}
阶码全为 0 或者全为 1 有特殊意义

阶码全 1 尾数不全 0 表示无穷大
阶码全 1 尾数全 0 表示 NaN
阶码全 0 尾数不全 0 表示非规格化数，隐藏位为 0（精度不够表示，需要特殊处理）

# 浮点数的加减运算

  1. 对阶
  2. 尾数相加减
  3. 尾数规格化，修改阶数
  4. 舍入
  • 就近舍入：舍入为最近的可表示数，当结果是两个可表示数的中间时，选择结果为偶数
  • 正向舍入：朝数轴正无穷方向舍入，取右边最近的可表示数
  • 负向舍入：和正向相反
  • 截断法：直接截取所需位数，是一种趋向原点的舍入
  1. 溢出判断
    对阶码加减时要判断是否溢出